Academic year 15/16
20 May '16
Paulina Szczuka: Topologie na zbiorze liczb naturalnych generowane przez bazy złożone z ciągów arytmetycznych
W pierwszej części referatu zostaną omówione własności topologii Furstenberga na zbiorze liczb całkowitych oraz topologiczny dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych. Dalsza część referatu dotyczyć będzie czterech topologii na zbiorze liczb naturalnych. Podane zostaną definicje oraz podstawowe własności topologii Golomba, topologii Kircha, topologii dzielników oraz nowej wprowadzonej przeze mnie topologii wspólnych dzielników. Następnie omówione zostaną wzajemne relacje pomiędzy tymi topologiami, własności ciągów arytmetycznych oraz własności wielomianów w wyżej wymienionych topologiach.
22 Apr '16
Jarek Kędra: Grupy dyfeomorfizmów rozmaitości są jednostajnie proste
Jednostajna prostota grupy G oznacza, że istnieje C>0 takie, że dla dowolnych nietrywialnych elementów g, h grupy G, element h jest produktem nie więcej niż C sprzężeń g lub odwrotności g. Jednostajna prostota Diff0(M) została udowodniona przez Burago, Iwanowa, Polterowicza i Tsuboi. Opowiem część BIP oraz naszkicuję dowód Crowleya i mój kawałka zrobionego przez Tsuboi.
15 Jan '16
Maria Marchwicka: Topological approach to enzymology
In this talk I will present how certain methods of topology and geometry can be used to study enzyme mechanism. We will start with a review of the structure and topology of DNA. Next we will study action of certain enzymes (topoisomerases and site specific recombinases) on circular DNA. In the last part of the talk I will show how the enzyme mechanism can be characterised by observing changes in DNA geometry (supercoiling) and topology (knotting and linking).
18 Dec '15
Zbigniew Błaszczyk: O możliwych podejściach do pojęcia współzmienniczej złożoności topologicznej
Zagadnienie planowania ruchu w przestrzeni stanów X odpowiadającej pewnemu układowi mechanicznemu polega na wskazaniu ciągłego algorytmu, który dowolnej parze (x, y) ∈ X × X przyporządkowuje ścieżkę od punktu x do punktu y. Podstawowym narzędziem służącym do badania “złożoności” procesu planowania ruchu jest wprowadzone przez M. Farbera pojęcie złożoności topologicznej. Ze względu na swoje zastosowania w robotyce i bliski związek z kategorią Lusternika-Schnirelmanna, złożoność topologiczna cieszy się w ostatnim okresie dużym zainteresowaniem. W szczególności zdefiniowano jej warianty, “współzmienniczą”, “niezmienniczą” i “efektywną” złożoność topologiczną, nakierowane na wykorzystanie (w diametralnie różny sposób!) symetrii występujących w przestrzeni stanów. W trakcie referatu przybliżę i porównam te pojęcia, z naciskiem na dwa ostatnie, wprowadzone odpowiednio w pracach Lubawskiego i Marzantowicza oraz Marka Kaluby i autora referatu.
11 Dec '15
Maciej Dołęga: O pewnej bijekcji dotyczącej dyskretnych powierzchni
Jednym z głównych wyników dotyczących badania losowych dyskretyzacji metrycznych sfery jest dowód istnienia pewnej losowej przestrzeni metrycznej prawie na pewno homeomorficznej ze sferą zwanej "mapą Browna", która w pewnym sensie jest obiektem granicznym dla dużej klasy rozsądnych modeli. Głównym narzędziem do badania mapy Browna oraz do badania wielu wyników z zakresu kombinatoryki enumeratywnej jest konstrukcja pewnej bijekcji zapoczątkowana przez Coriego i Vauquelina, oraz uogólniona przez Chapuya, Marcusa i Shaeffera na orientowalne powierzchnie dowolnego genusu. Przedstawimy w jaki sposób można uogólnić tę konstrukcję na klasę pewnych grafów zanurzonych w dowolną powierzchnię (orientowalną, bądź nieorientowalną). Wnioskiem z naszej konstrukcji są pewne wyniki dotyczące asymptotycznych własności dużychgrafów zanurzonych w dowolną powierzchnię, jak również ich własności enumeratywnych. Nasza konstrukcja otwiera również furtkę do badania odpowiednika mapy Browna na dowolnej powierzchni. Wyniki przedstawione w referacie zostały uzyskane wspólnie z Guillaumem Chapuy.
18 Nov '15
Piotr Sułkowski: Knots and quantum physics: from geometry and topology to number theory
Interactions between knot theory, quantum field theory, and string theory have always been very fruitful, and various ideas in physics often led to important results in knot theory. Examples of such results include reformulation of knot polynomials as quantum correlators in Chern-Simons theory, a discovery of integral Ooguri-Vafa invariants, or identification of homological knots invariants with spaces of BPS states in string theory. In this talk, after reviewing a web of these relations, I will present some new result and show that knot invariants, after string theory reformulation, lead to intriguing statements in number theory.